Question

14．已知P（x，y）是中心在原點，焦距為4$\sqrt{2}$的雙曲線上一點，且$\frac{y}{x}$的取值范圍為（-1，1），則該雙曲線的方程是（　�。�

• A． x²-y²=8
• B． y²-x²=8
• C． x²-y²=4
• D． y²-x²=4

Answer 1

分析 根據(jù)直線的斜率公式和雙曲線的漸近線方程，結(jié)合題意得到$\frac{a}$=1，再由a，b，c的平方關(guān)系得到a²+b²=8，聯(lián)解可得a、b的值，即可得到該雙曲線方程．

解答 解：可設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
動點P（x，y）與原點連線的斜率為k=$\frac{y}{x}$且k∈（-$\frac{a}$，$\frac{a}$）
由已知$\frac{y}{x}$的取值范圍為（-1，1），
$\frac{a}$=1…①
又雙曲線的焦距為2c=4$\sqrt{2}$，得c=2$\sqrt{2}$，
即a²+b²=c²=8…②
聯(lián)解①②，可得a=b=2，
所以雙曲線方程為x²-y²=4．
故選：C．

點評 本題給出雙曲線的焦距，在已知曲線上動點P與原點連線斜率范圍的情況下求雙曲線的方程，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)：漸近線方程等知識，屬于中檔題．