Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+a，x∈[

π

4

，

π

2

]，且f(

π

3

)=4．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用降冪公式進(jìn)行降冪，都轉(zhuǎn)化成二倍角，然后再利用輔助角公式化簡(jiǎn)，將

π

3

代入即可求出參數(shù)a；
（2）將原函數(shù)化簡(jiǎn)成f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2，根據(jù)x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域．

解答：解：（1）由題意，得f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+a=1-cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x-

π

6

)+1+a（4分）
由f(

π

3

)=2sin

π

2

+1+a=4，得a=1
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2
當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時(shí)，2x-

π

6

∈[

π

3

，

5

6

π]，sin(2x-

π

6

)∈[

1

2

，1]
∴f（x）∈[3，4]
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇3，4]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了降冪公式與二倍角公式的運(yùn)用，以及正弦函數(shù)的值域的求解，通常先化簡(jiǎn)然后根據(jù)單調(diào)性求解，屬于基礎(chǔ)題．