Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求證數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列的充要條件是c=0．

Answer 1

證：必要性：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a+b+c；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a；
由于a≠0，∴當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}是公差為2a等差數(shù)列．
要使{a_n}是等差數(shù)列，則a₂-a₁=2a，解得c=0．
即{a_n}是等差數(shù)列的必要條件是：c=0．
充分性：當(dāng)c=0時(shí)，，a≠0．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a+b；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
顯然當(dāng)n=1時(shí)也滿足上式，
∴，進(jìn)而可得
∴{a_n}是等差數(shù)列．
綜上可知，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列的充要條件是：c=0．
分析：由等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，分別證明必要性和充分性即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)稱關(guān)系的確定，涉及充要條件的證明，屬基礎(chǔ)題．