Question

【題目】已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n－1，n∈N*；bn＝2n－1，n∈N*.（2）

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)各項(xiàng)均為正項(xiàng)的等比數(shù)列，求得q的表達(dá)式，進(jìn)而求得q與d的值。由a1＝b1＝1，求得{an}和{bn}的通項(xiàng)公式。

(Ⅱ)數(shù)列Cn是由{}與的和組成的新數(shù)列求和，分別利用錯(cuò)位相減法和等差數(shù)列求和，再合并在一起。

解：(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d，由題意q＞0.

由已知，有 消去d，整理得q4－2q2－8＝0，

又因?yàn)?/span>q＞0，解得q＝2，所以d＝2.

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，n∈N*；

數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1，n∈N*.

(Ⅱ)由(1)有，設(shè){}的前n項(xiàng)和為Sn，的前n項(xiàng)和為則Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，

2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，

上述兩式相減，得

－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，

所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*

.＝

所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.