Question

4．ABCDEF是邊長為4的正六邊形，PA⊥面ABCDEF，PA=2，則P到BC的距離為4，P到CD的距離為2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 求出A到BC的距離，可得P到BC的距離；由已知中P是邊長為a的正六邊形ABCDEF所成平面外一點，PA⊥AB，PA⊥AF，PA=a．我們易得PA⊥平面ABCDEF，解直角三角形PAC，PAD后，可由勾股定理判斷出PC⊥CD，即可得到答案．

解答 解：由題意，A到BC的距離為2$\sqrt{3}$，PA=2，∴P到BC的距離為$\sqrt{12+4}$=4．
連接AC，AD，PD，如下圖所示：

∵正六邊形ABCDEF的邊長為4，則AC=4$\sqrt{3}$，AD=8，CD=4
又∵PA⊥AB，PA⊥AF，
∴PA⊥平面ABCDEF，
∴PA⊥AC，PA⊥AD
∵PA=2，∴PC=2$\sqrt{13}$，PD=2$\sqrt{17}$，
在△PCD中，∵PC²+CD²=PD²，
故PC⊥CD
故PC長即為P點到CD的距離=2$\sqrt{13}$
故答案為：4，2$\sqrt{13}$．

點評 本題考查的知識點是空間點到線之間的距離，其中證明PC⊥CD，進而將點到直線的距離，轉(zhuǎn)化為求線段長問題，是解答本題的關(guān)鍵．