Question

8．已知f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{ln（x+1）}&{（x≥0）}\\{{e^x}-1}&{（x＜0）}\end{array}}$，若函數(shù)y=f（x）-kx恒有一個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為（　　）

• A． k≤0
• B． k≤0或k≥1
• C． k≤0或k≥e
• D． k≤0或k≥$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由y=f（x）-kx=0得f（x）=kx，
作出函數(shù)f（x）和y=kx的圖象如圖，
由圖象知當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）和y=kx恒有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=ln（x+1）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，則f′（0）=1，
當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x-1的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x，則f′（0）=e⁰=1，
即當(dāng)k=1時(shí)，y=x是函數(shù)f（x）的切線，
則當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù)f（x）和y=kx有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件．
當(dāng)k≥1時(shí)，函數(shù)f（x）和y=kx有1個(gè)交點(diǎn)，滿足條件．
綜上k的取值范圍為k≤0或k≥1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．注意利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．