Question

7．$\frac{1}{{\sqrt{2}+1+tan22°}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+1+tan23°}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設A=1+tan22°，B=1+tan23°，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的正切函數(shù)公式可求AB=2，即（1+tan22°）（1+tan23°）=2，將所求通分，整理即可得解．

解答 解：因為：tan（23°+22°）=tan45°=1，
所以：（1+tan22°）（1+tan23°）
=1+tan23°+tan22°+tan22°tan23°
=1+（1-tan23°tan22°）+tan22°tan23°
=2，
設A=1+tan22°，B=1+tan23°，則AB=2，
所以：原式=$\frac{1}{\sqrt{2}+A}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+B}$=$\frac{\sqrt{2}+B+\sqrt{2}+A}{（\sqrt{2}+A）（\sqrt{2}+B）}$=$\frac{2\sqrt{2}+A+B}{2+\sqrt{2}A+\sqrt{2}B+AB}$=$\frac{2\sqrt{2}+A+B}{4+\sqrt{2}A+\sqrt{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}+A+B}{\sqrt{2}（2\sqrt{2}+A+B）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的正切函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，求得并利用結論（1+tan22°）（1+tan23°）=2是解題的關鍵，屬于中檔題．