Question

已知S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n=12n-n²．
（1）求|a₁|+|a₂|+|a₃|；
（2）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₀|；
（3）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出a_n=13-2n．當1≤n≤6時，a_n＞0；當n≥7時，a_n＜0．由此得到|a₁|+|a₂|+|a₃|=S₃．
（2）由（1）得|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₀|=2S₆-S₁₀，由此能求出結果．
（3）由（1）知當1≤n≤6時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=S_n；當n≥7時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=2S₆-S_n．

解答： 解：（1）∵S_n=12n-n²．∴當n=1時，a₁=S₁=12-1=11，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（12n-n²）-12（n-1）+（n-1）²=13-2n．
當n=1時，13-2×1=11=a₁，∴a_n=13-2n．
由a_n=13-2n≥0，得n≤

13

2

，
∴當1≤n≤6時，a_n＞0；當n≥7時，a_n＜0．
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|=S₃=12×3-3²=27．
（2）|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₀|
=2S₆-S₁₀
=2（12×6-6²）-（12×10-10²）
=52．
（3）當1≤n≤6時，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=S_n=12n-n²，
當n≥7時，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=2S₆-S_n
=n²-12n+72．
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=

12n-n2，1≤n≤6 n2-12n+72，n≥7

．

點評：本題考查數(shù)列的各項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質的合理運用．