Question

19．（1）求函數(shù)f（x）=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}}$-3•2^x+5在區(qū)間[-2，2]上的最大值，并求函數(shù)f（x）取得最大值時的x的取值？
（2）若函數(shù)y=a^2x+2a^x-1（a＞0，a≠1）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為14，求實數(shù)a的值？

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=2^x，由于-2≤x≤2，則$\frac{1}{4}≤t≤4$，∴$y=\frac{1}{2}{t^2}-3t+5=\frac{1}{2}{（t-3）^2}+\frac{1}{2}$，再利用二次函數(shù)的知識求得y的最大值以及此時的x的取值．
（2）設(shè)t=a^x，則y=t²+2t-1=（t+1）²-2，利用二次函數(shù)的知識分類討論求得y的最大值以及此時的a的取值．

解答 解：（1）∵f（x）=${4^{x-\frac{1}{2}}}$-3•2^x+5=${2^{2x-1}}-3•{2^x}+5=\frac{1}{2}•{（{2^x}）^2}-3•{2^x}+5$，
∴設(shè)t=2^x，由于-2≤x≤2，則$\frac{1}{4}≤t≤4$，∴$y=\frac{1}{2}{t^2}-3t+5=\frac{1}{2}{（t-3）^2}+\frac{1}{2}$，
由二次函數(shù)知識，得：當(dāng)$t=\frac{1}{4}$，即x=-2時，y有最大值為$\frac{137}{32}$．
（2）∵y=a^2x+2a^x-1（a＞0，a≠1）=（a^x）²+2a^x-1，
設(shè)t=a^x，則y=t²+2t-1=（t+1）²-2，
①當(dāng)a＞1時，由于-2≤x≤2，則$\frac{1}{a^2}≤t≤{a^2}$
由二次函數(shù)知識，得：當(dāng)t=a²，即x=2時，y有最大值14，∴（a²）²+2a²-1=14，
解得a²=-5（舍去），$a=-\sqrt{3}$（舍去），$a=\sqrt{3}$．
②當(dāng)0＜a＜1時，由于-2≤x≤2，則${a^2}≤t≤\frac{1}{a^2}$，
由二次函數(shù)知識，得：當(dāng)$t=\frac{1}{a^2}$，即x=-2時，y有最大值14，
∴${（\frac{1}{a^2}）^2}+2\frac{1}{a^2}-1=14$解得：$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
綜上所述，$a=\sqrt{3}$，或$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查求復(fù)合函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．