Question

19．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，寫出函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值g（a）；
（3）（2）中g(shù)（a）滿足g（a）-m≥0對任意實(shí)數(shù)a恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用絕對值的意義，去掉絕對值，配方，即可得到a=1的增區(qū)間；
（2）討論a≤0時(shí)，f（x）在[0，2]遞增，可得f（x）的最大值；討論當(dāng)a＞0時(shí)①當(dāng)$\frac{a}{2}$≥2或0＜$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a≤2，②當(dāng)$\frac{a}{2}$＜2＜$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a，結(jié)合圖象即可得到所求最大值；
（3）由g（a）滿足g（a）-m≥0對任意實(shí)數(shù)a恒成立，即為m≤g（a）的最小值，由（2）可得最小值，進(jìn)而得到m的范圍．

解答 解：（1）f（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{ax-{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$，
即為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在[0，2]遞增，f（x）的最大值為f（2）=4-2a；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$）遞增，
在（$\frac{a}{2}$，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
令（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，（x≥a＞0），解得x=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a，
①當(dāng)$\frac{a}{2}$≥2或0＜$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a≤2即0＜a≤4（$\sqrt{2}$-1）或a≥4時(shí)，
f（x）的最大值為f（2）=2|2-a|；
②當(dāng)$\frac{a}{2}$＜2＜$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a即4（$\sqrt{2}$-1）＜a＜4時(shí)，
f（x）的最大值為f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
綜上可得，f（x）在[0，2]的最大值
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4-2a，a≤4（\sqrt{2}-1）}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，4（\sqrt{2}-1）＜a＜4}\\{2a-4，a≥4}\end{array}\right.$；
（3）由g（a）滿足g（a）-m≥0對任意實(shí)數(shù)a恒成立，
即為m≤g（a）的最小值，
由（2）可得g（a）≥g（4$\sqrt{2}$-4）=12-8$\sqrt{2}$，
則滿足題意的m的取值范圍是（-∞，12-8$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查含絕對值函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，注意運(yùn)用絕對值的意義和分類討論思想方法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查化簡能整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．