分析:(I)由∵
xn+1-xn=(-)n,可用累加法求解;
(Ⅱ)由x
n求得a
n從而得到T
2n,觀察其結構是一個等差數列與等比數列積的形式,可用錯位相減法求解.(Ⅲ)由(Ⅱ)可得
9T2n=1-.再與Q
n比較.
解答:解:(I)∵
xn+1-xn=(-)n,
∴x
n=x
1+(x
2-x
1)+(x
3-x
2)++(x
n-x
n-1)
=
1+(-)+(-)2++(-)n-1=
=
+(-)n-1(4分)
當n=1時上式也成立,∴
xn=+(-)n+1(n∈N*).(5分)
(Ⅱ)
an=xn-=(-)n-1=(-)n+1.∵T
2n=a
1+2a
2+3a
3++(2n-1)a
2n-1+2na
2n=
(-)2+2(-)3+3(-)4++(2n-1)(-)2n+2n(-)2n+1①
∴
-T2n=()3+2(-)4+3(-)3++(2n-1)(-)2n+1+2n(-)2n+2②
①-②,得
T2n=(-)2+(-)3++(-)2n+1-2n(-)2n+2(8分)
∴
T2n=-2n(-)2n+2=-(-)2n-(-)2n.T2n=-(-)2n-(-)2n=(1-).(10分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得
9T2n=1-.當n=1時,2
2n=4,(2n+1)
2=9,∴9T
2n<Q
n;(11分)
當n=2時,2
2n=16,(2n+1)
2=25,∴9T
2n<Q
n;(12分)
當n≥3時,2
2n=[(1+1)
n]
2=(C
n0+C
n1+C
n2++C
nn)
2>(2n+1)
2.∴9T
2n>Q
n.
綜上所述,當n=1,2時,9T
2n<Qn;當n≥3時,9T
2n>Qn.(14分)
點評:本題主要考查累加法求數列通項,錯位相減法求和以及數列的比較滲透了不等式問題.