Question

（本題滿分13分）
如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，對(duì)角線MN過(guò)C點(diǎn)，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，且受地理?xiàng)l件限制，長(zhǎng)不超過(guò)米。

（1）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）若|AN| （單位：米），則當(dāng)AM、AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

（1） ；（2）|AN|＝3米，|AM|＝米 。

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，
∴，即（3x－8）（x－8）> 0
∴或 又，
即AN長(zhǎng)的取值范圍是 
（2）令y＝，則y′＝
∵當(dāng)，y′< 0，∴函數(shù)y＝在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)x＝3時(shí)y＝取得最大值，即（平方米）
得到結(jié)論。
解：設(shè)AN的長(zhǎng)為x米（）
∵，∴|AM|＝
∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ -        ------------------------------------ 4分
（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，
∴，即（3x－8）（x－8）> 0
∴或 又，
即AN長(zhǎng)的取值范圍是                         ----------- 8分
（2）令y＝，則y′＝   -------------- 10分
∵當(dāng)，y′< 0，∴函數(shù)y＝在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)x＝3時(shí)y＝取得最大值，即（平方米）
此時(shí)|AN|＝3米，|AM|＝米                      ……………… 13分