Question

在五棱錐P－ABCDE中，PA＝AB＝AE＝2a，PB＝PE＝a，BC＝DE＝a，∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90°．

(1)求證：PA⊥平面ABCDE；

(2)若G為PE中點，求證：AG⊥平面PDE

(3)求二面角A－PD－E的正弦值；

(4)求點C到平面PDE的距離

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明∵PA＝AB＝2a，PB＝2a，∴PA2＋AB2＝PB2，∴∠PAB＝90°， 　　即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE＝A，∴PA⊥平面ABCDE．　3分 　　(2)∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG．，為中點，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE　6分 　　(3)∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．過A作AG⊥PE于G，過DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．過G作GH⊥PD于H，連AH，由三垂線定理得AH⊥PD． 　　∴∠AHG為二面角A－PD－E的平面角．　8分 　　在直角△PAE中，AG＝a．在直角△PAD中，AH＝a，∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．∴二面角A－PD－E的正弦值為．　10分 　　(4)∵∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90°，BC＝DE＝a，AB＝AE＝2a，取AE中點F，連CF，∵AF∥＝BC，∴四邊形ABCF為平行四邊形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴點C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴過F作FG⊥PE于G，則FG⊥平面PDE． 　　∴FG的長即F點到平面PDE的距離．　13分 　　在△PAE中，PA＝AE＝2a，F為AE中點，FG⊥PE，∴FG＝a．∴點C到平面PDE的距離為a．(或用等體積法求)