Question

如圖，在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a²=b²+c²+bc，a=

3

，S為△ABC的面積，圓O是△ABC的外接圓，P是圓 O上一動點，當(dāng)S+

3

cosBcosC取得最大值時，

PA

•

PB

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)余弦定理可得A=

2π

3

，進而由正弦定理可得：三角形外接圓半徑R=1，則當(dāng)B=C=

π

6

時，S+

3

cosBcosC取得最大值建立坐標(biāo)系，設(shè)P（cosθ，sinθ），求出向量

PA

，

PB

的坐標(biāo)，進而將

PA

•

PB

化為正弦型函數(shù)的形式，可得其最大值．

解答： 解：∵a²=b²+c²+bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
又由A為三角形內(nèi)角，
∴A=

2π

3

設(shè)圓O的半徑為R，則2R=

a

sinA

=

3

sin 2π 3

=2，
∴R=1，
∴S+

3

cosBcosC=

1

2

bcsinA+

3

cosBcosC=

3

4

bc+

3

cosBcosC=

3

sinBsinC+

3

cosBcosC=

3

cos(B-C)
當(dāng)B=C=

π

6

時，S+

3

cosBcosC取得最大值
建立如圖直角坐標(biāo)系，則A（0，1），B(-

3

2

，

1

2

)，C(

3

2

，

1

2

)，

設(shè)P（cosθ，sinθ），則

PA

•

PB

=(cosθ，sinθ-1)(cosθ+

3

2

，sinθ-

1

2

)=

3

2

cosθ-

3

2

sinθ+

3

2

=

3

2

+

3

cos(θ+

π

3

)
當(dāng)且僅當(dāng)cos(θ+

π

3

)=1時，

PA

•

PB

取最大值

3

2

+

3

．
故答案為：

3

2

+

3

．

點評：本題考查的知識點是正弦定理，余弦定理，向量的數(shù)量積運算，是三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用，難度中檔．