Question

1．已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為1，直線l：被圓M所截的弦長為$\sqrt{3}$，且圓心M在直線l的下方．
（1）求圓M的方程；
（2）設A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若圓M是△ABC的內切圓，求△ABC的面積S的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）設圓心M （a，0），則$\frac{|8a-3|}{{\sqrt{{8^2}+{6^2}}}}=\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}=\frac{1}{2}$，求出a，然后求圓的方程；
（2）設A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），設AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達式，求出面積的最大值和最小值．

解答 解：（1）設圓心M （a，0），則$\frac{|8a-3|}{{\sqrt{{8^2}+{6^2}}}}=\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}=\frac{1}{2}$，即|8a-3|=5（2分）
又∵M在l的下方，∴8a-3＞0，∴8a-3=5，a=1
故圓的方程為（x-1）²+y²=1．（4分）
（2）由題設AC的斜率為k₁，BC的斜率為k₂，
則直線AC的方程為y=k₁x+t，直線BC的方程為y=k₂x+t+6
聯(lián)立得C點的橫坐標為x=$\frac{6}{{k}_{1}-{k}_{2}}$（6分）
∵|AB|=t+6-t=6，∴S=$\frac{1}{2}$•|$\frac{6}{{k}_{1}-{k}_{2}}$|•6=$\frac{18}{|{k}_{1}-{k}_{2}|}$（8分）
由于圓M與AC相切，所以$\frac{|{k}_{1}+t|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=1，∴k₁=$\frac{1-{t}^{2}}{2t}$，
由于圓M與BC相切，所以$\frac{|{k}_{2}+t+6|}{\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}$=1，∴${k_2}=\frac{{1-{{（t+6）}^2}}}{2（t+6）}$（10分）
∴${k_1}-{k_2}=\frac{{3（{t^2}+6t+1）}}{t（t+6）}$，
∴$S=\frac{{6（{t^2}+6t）}}{{{t^2}+6t+1}}=6（1-\frac{1}{{{t^2}+6t+1}}）$，（12分）
∵-5≤t≤-2，∴-8≤t²+6t+1≤-4，
∴${S_{min}}=6（1+\frac{1}{8}）=\frac{27}{4}$，
∴△ABC的面積S的最大值為$\frac{15}{2}$，最小值為$\frac{27}{4}$．（14分）

點評 本題是中檔題，考查直線與圓的位置關系，三角形面積的最值的求法，考查計算能力．