Question

【題目】已知，.

（1）當時，證明：；

（2）設直線是函數在點處的切線，若直線也與相切，求正整數的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）令，求導，可知單調遞增，且，，因而在上存在零點，在此取得最小值，再證最小值大于零即可.

（2）根據題意得到在點處的切線的方程①，再設直線與相切于點， 有，即，再求得在點處的切線直線的方程為 ②由①②可得，即，根據，轉化為，，令，轉化為要使得在上存在零點，則只需，求解.

（1）證明：設，

則，單調遞增，且，，

因而在上存在零點，且在上單調遞減，在上單調遞增，

從而的最小值為.

所以，即.

（2），故，

故切線的方程為①

設直線與相切于點，注意到，

從而切線斜率為，

因此，

而，從而直線的方程也為 ②

由①②可知，

故，

由為正整數可知，，

所以，，

令，

則，

當時，為單調遞增函數，且，從而在上無零點；

當時，要使得在上存在零點，則只需，，

因為為單調遞增函數，，

所以；

因為為單調遞增函數，且，

因此；

因為為整數，且，

所以.