Question

已知{ a_n}是等差數(shù)列，{ b_n}是等比數(shù)列，S_n是{ a_n}的前n項和，a₁=b₁=1，S₂=．
（Ⅰ）若b₂是a₁，a₃的等差中項，求a_n與b_n的通項公式；
（Ⅱ）若a_n∈N^*{}是公比為9的等比數(shù)列，求證：+++…＜．

Answer 1

【答案】分析：求解本題，宜先將S₂=化簡用首項與公差、公比表示出來
（Ⅰ）b₂是a₁，a₃的等差中項，由此可以得到2b₂=a₁+a₃，將其與S₂=聯(lián)立即可求得兩數(shù)列的公差與公比，由通項公式求出通項即可．
（Ⅱ）由{}是公比為9的等比數(shù)列，引入公比q，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到==q^d=9，即q^d=3²．與S₂=結合可得q=．再由a_n∈N^*，知d是正整數(shù)，再結合q^d=3²．對d，q的值進行判斷，驗證即得d，q的值，由此S_n可求出，求出其倒數(shù)，利用放縮法將其倒數(shù)變?yōu)榭梢粤秧椀男问�，將前n項的和的倒數(shù)放大即可證明不等式．
解答：解：設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}公比為q．
（Ⅰ）∵S₂=，∴a₁+a₁+d=，，而a₁=b₁=1，則q（2+d）=12．①
又∵b₂是a₁，a₃的等差中項，
∴a₁+a₃=2b₂，得1+1+2d=2q，即1+d=q．②
聯(lián)立①，②，解得或（4分）
所以a_n=1+（n-1）•2=2n-1，b_n=3^n-1；
或a_n=1+（n-1）•（-5）=6-5n，b_n=（-4）^n-1．（6分）
（Ⅱ）∵a_n∈N^*，=b₁=q^{1+（n-1）d-1}=q^（n-1）d，
∴==q^d=9，即q^d=3²．①（8分）
由（Ⅰ）知q（2+d）=12，得q=．②
∵a₁=1，a_n∈N^*，∴d為正整數(shù)，從而根據(jù)①②知q＞1且q也為正整數(shù)，
∴d可為1或2或4，但同時滿足①②兩個等式的只有d=2，q=3，
∴a_n=2n-1，S_n==n²．（10分）
∴=＜=（-）（n≥2）．
當n≥2時，++…+=+++…+＜1+2（-）+2（-）+…+2（-）
=1+2[（-）+（-）+…+（-）]
=-＜．
顯然，當n=1時，不等式成立．
故n∈N^*，++…+＜．（14分）
思路2或者和文科題的解法相同，前兩項不變，從第三項開始縮�。�
當n≥2時，++…+＜1++（-）+（-）+…+（-）
=1++[（-）+（-）+…+（-）]
=1++（+--）
=--＜．
點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查了根據(jù)題設中的條件建立方程求數(shù)列的通項以及用放縮法與裂項求和的技巧證明不等式，本題綜合性較強，難度較大，解題過程中有兩點比較關鍵，一是根據(jù)數(shù)列的項是正整數(shù)判斷出公差與公比的值，一是由放縮法將前n項的倒數(shù)和進行放大為可以裂項的形式，題后應對這兩點好好總結．