已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.

(1)當a=2時,求證:AO⊥平面BCD;

(2)當二面角A-BD-C的大小為120°時,求二面角A-BC-D的正切值.

答案:
解析:

  (1)證明:根據(jù)題意,在中,,

  所以,所以.2分

  因為是正方形的對角線,

  所以.3分

  因為,

  所以.4分

  (2)解法1:由(1)知,,如圖,以為原點,,所在的直線分別為軸,軸建立如圖的空間直角坐標系,5分

  則有,

  設(shè),則,.6分

  又設(shè)面的法向量為

  則

  所以,令,則

  所以.8分

  因為平面的一個法向量為,

  且二面角的大小為,9分

  所以,得

  因為,所以

  解得.所以.10分

  設(shè)平面的法向量為,因為,

  則,即

  令,則

  所以.12分

  設(shè)二面角的平面角為,

  所以.13分

  所以

  所以二面角的正切值為.14分

  解法2:折疊后在△中,,

  在△中,.5分

  所以是二面角的平面角,

  即;6分

  在△中,,

  所以;7分

  如圖,過點的垂線交延長線于點

  因為,,且

  所以平面.8分

  因為平面,所以

  又,且,所以平面.9分

  過點作,垂足為,連接

  因為,,所以平面.10分

  因為平面,所以

  所以為二面角的平面角.11分

  在△中,,,則,

  所以;12分

  在中,,所以;13分

  在中,

  所以二面角的正切值為.14分


練習冊系列答案
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已知正方形ABCD的邊長為2,中心為O,四邊形PACE是直角梯形,設(shè)PA⊥平面ABCD,且PA=2,CE=1,
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3
4
,則其中的真命題是(  )

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已知正方形ABCD的邊長為1,設(shè)
AB
=
a
BC
=
b
,
AC
=
c
,則|
a
-
b
+
c
|等于( �。�
A、0
B、
2
C、2
D、2
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正方形ABCD的邊長為
2
AB
=
a
,
BC
=
b
,
AC
=
c
,則|
a
+
b
+
c
|
=
4
4

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