Question

（2005•海淀區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=a（a是常數(shù)），a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n∈N，n≥2）．
（Ⅰ）{a_n}是否可能是等差數(shù)列．若可能，求出{a_n}的通項公式；若不可能，說明理由；
（Ⅱ）設b₁=b，b_n=a_n+n²（n∈N，n≥2），S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，且{S_n}是等比數(shù)列，求實數(shù)a、b滿足的條件．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=a及a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n∈N，n≥2）可分別求出a₂，a₃，a₄，由a₂-a₁=a₃-a₂及a₃-a₂=a₄-a₃可知a無解，從而得到結論；
（Ⅱ）由bn=an+n2推得b_n+1=2b_n（n≥2），當a≠-1時，b_n≠0，{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列，可求S_n，當a≠-1時，由{S_n}是等比數(shù)列得

Sn

Sn-1

為常數(shù)，可得a，b滿足條件；當a=-1時易求S_n，可知{S_n}是等比數(shù)列時b滿足條件；

解答：解：（I）∵a1=a，依an=2an-1+n2-4n+2(n=2，3，…)，
∴a₂=2a+4-8+2=2a-2，

∴a3=2a2+9-12+2=4a-5 a4=2a3+2=8a-8 a2-a1=2a-2-a=a-2， a3-a2=2a-3， a4-a3=4a-3 若{an}是等差數(shù)列，則a2-a1=a3-a2，得a=1 但由a3-a2=a4-a3，得a=0，矛盾

∴{a_n}不可能是等差數(shù)列；
（II）∵bn=an+n2，

∴bn+1=an+1+(n+1)2 =2an+(n+1)2-4(n+1)+2+(n+1)2 =2an+2n2=2bn(n≥2)

∴b₂=a₂+4=2a+2，
當a≠-1時，b_n≠0，{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列，
∴Sn=b1+

(2a+2)(2n-1-1)

2-1

=b+（2a+2）（2^n-1-1），
當n≥2時，

Sn

Sn-1

=

(a+1)2n+b-2a-2

(a+1)2-1+b-2a-2

=2-

b-2a-2

(a+1)2n-1+b-2a-2

，
∵{S_n}是等比數(shù)列，∴

Sn

Sn-1

（n≥2）是常數(shù)，
∵a≠-1，
∴b-2a-2=0，

當a=-1時，b2=0， 由bn=2bn-1(n≥3)， 得bn=0(n≥2) ∴Sn=b1+b2+…+bn=b ∵{Sn}是等比數(shù)列 ∴b≠0

綜上，{S_n}是等比數(shù)列，實數(shù)a、b所滿足的條件為

a≠-1 b=2a+2

或

a=-1 b≠0

；

點評：本題主要考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的定義在數(shù)列中應用，數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項求解中的應用，考查分類討論思想，屬于數(shù)列知識的綜合應用．