Question

15．已知直線l的極坐標方程是ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=0，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）求直線l被曲線C截得的弦長；
（Ⅱ）從極點作曲線C的弦，求各弦中點軌跡的極坐標方程．

Answer 1

分析 （I）直線l的極坐標方程是ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=0，展開可得：$ρ（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$=0，化為直角坐標方程．
曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用平方關系消去參數(shù)α可得普通方程，求出圓心C到直線l的距離d，可得直線l被曲線C截得的弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-drvhdvf^{2}}$．
（II）設Q圓C上的任意一點，P（x，y）為線段OQ的中點，則Q（2x，2y），代入圓C的方程可得各弦中點軌跡的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可．

解答 解：（I）直線l的極坐標方程是ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=0，展開可得：$ρ（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$=0，化為：y-$\sqrt{3}$x=0．
曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），消去參數(shù)α可得：x²+（y-2）²=4，圓心C（0，2），半徑r=2．
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{|2-0|}{\sqrt{{1}^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}}$=1，
∴直線l被曲線C截得的弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-jbzzzdj^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
（II）設Q圓C上的任意一點，P（x，y）為線段OQ的中點，則Q（2x，2y），
代入圓C的方程可得：（2x）²+（2y-2）²=4，化為：x²+y²-2y-3=0，
可得ρ²-2ρcosθ-3=0，即為各弦中點軌跡的極坐標方程．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長問題、點到直線的距離公式、弦長公式、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．