Question

已知cos（

π

4

-α）=

3

5

，α∈（

π

2

，π），求cos2α的值．

Answer 1

分析：解法一：由于cos2α=sin[2(

π

4

-α)]=2sin(

π

4

-α)cos(

π

4

-α)，故可由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sin(

π

4

-α)的值，代入即可求得cos2α的值；
解法二：由于cos2α=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）•（cosα+sinα）故可由題設(shè)條件求出cosα-sinα與cosα+sinα的值，即可求出cos2α的值；
解法三：由于cos2α=1-2sin²α，故可由條件cos（

π

4

-α）=

3

5

及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinα的值，即可求出cos2α的值；

解答：解：解法一：∵α∈(

π

2

，π)，
∴

π

4

-α∈(-

3π

4

，-

π

4

)
∵cos(

π

4

-α)=

3

5

，
∴sin(

π

4

-α)=-

4

5

（2分）
∴cos2α=cos[

π

2

-2(

π

4

-α)]=sin[2(

π

4

-α)]（2分）
=2sin(

π

4

-α)cos(

π

4

-α)（2分）
=2×(-

4

5

)×

3

5

=-

24

25

（2分）
解法二：∵cos(

π

4

-α)=

2

2

(sinα+cosα)=

3

5

（2分）
∴sinα+cosα=

3 2

5

∴sin2α=2sinαcosα=-

7

25

＜0
∴α∈(

π

2

，π)，∴cosα-sinα=-

1-2sinαcosα

=-

4 2

5

（2分）
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）•（cosα+sinα）（2分）
=(-

4 2

5

)×

3 2

5

=-

24

25

（2分）
解法三：：∵α∈(

π

2

，π)，
∴

π

4

-α∈(-

3π

4

，-

π

4

)
∵cos(

π

4

-α)=

3

5

，
∴sin(

π

4

-α)=-

4

5

 （2分）
sinα=sin[

π

4

-(

π

4

-α)]=

2

2

[cos(

π

4

-α)-sin(

π

4

-α)]=

7 2

10

（2分）
cos2α=1-2sin²α=1-

49

25

=-

24

25

（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦的二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)余弦的二倍角公式尋求已知與求解之間的關(guān)聯(lián)，從而得到求值的方法，本題重點(diǎn)是理解公式，根據(jù)公式尋求解題的思路，本題的難點(diǎn)是函數(shù)值符號(hào)的判定，主要訓(xùn)練了觀察判斷的能力