設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R+上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：
（1）對任意正數(shù)x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）當(dāng)x＞1時，f（x）＜0；
（3）f（3）=-1，
（I）求f（1）、f(
1
9
)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．
（III）如果存在正數(shù)k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正數(shù)k的取值范圍．
（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f(9)+f(
1
9
)=f(1)=0，
得f(
1
9
)=2．
（II）設(shè)0＜x1＜x2＜+∞，由條件（1）可得f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
)，
因
x2
x1
＞1，由（2）知f(
x2
x1
)＜0，
所以f（x2）＜f（x1），
即f（x）在R+上是遞減的函數(shù)．
由條件（1）及（I）的結(jié)果得：f[x(2-x)]＜f(
1
9
)
其中0＜x＜2，由函數(shù)f（x）在R+上的遞減性，可得：
x(2-x)＞
1
9
0＜x＜2
，
由此解得x的范圍是(1-
2
2
3
，1+
2
2
3
)．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化為kx(2-x)＞
1
9
且0＜x＜2，
得k＞
1
9x(2-x)
，此不等式有解，等價于k＞[
1
9x(2-x)
]min，
在0＜x＜2的范圍內(nèi)，易知x（2-x）max=1，
故k＞
1
9
即為所求范圍．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f （x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且滿足f （x-2）=-f （x）對一切x∈R恒成立，當(dāng)-1≤x≤1時，f （x）=x3，則下列四個命題：
①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
②f（x）在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）3．
③f（x）在(
3
2
，f(
3
2
))處的切線方程為3x+4y-5=0．
④f（x）的圖象的對稱軸中，有x=±1，其中正確的命題是（　　）
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：
①對正數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當(dāng)x＞1時，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(
19
)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[2，3]上的值域?yàn)閇-2，6]，則函數(shù)g（x）在[-12，12]上的值域?yàn)椋ā　。?/div>

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在正實(shí)數(shù)上的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求證：f（
xy
）=f（x）-f（y）；
（2）若f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，又當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則下列五個命題：
①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
②當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）=（ x-2）3；
③直線x=±1是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸；
④點(diǎn)（2，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心；
⑤函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（
3
2
，f（
3
2
））處的切線方程為3x-y-5=0．
其中正確的是
①③
①③
．（寫出所有正確命題的序號）

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