Question

現(xiàn)假設(shè)紅色球與黑色各有n個，且互不相同．
（1）當(dāng)n=3時，若將這些球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少有一個球，則有多少種不同的放法？
（2）當(dāng)n=3時，若將這些球隨機(jī)的配成3對，則至少有一對球的顏色一樣的概率是多少？
（3）將這些球隨機(jī)的配成n對，記P_n為至少有一對球的顏色一樣的概率，求證：P_n-P_n-1＜

1

2

 （其中n≥3 ）．

Answer 1

分析：（1）不同的放法可以分為三類3個盒子中分別有1個、1個、4個；1個、2個、3個；2個、2個、2個．分別計(jì)算出各類中的算法再相加；
（2）由題意，可用排除法計(jì)數(shù)，先計(jì)算出總的基本事件數(shù)，再計(jì)算出顏色都不一樣的事件的基本事件數(shù)，作差即可得到顏色至少有一個一樣的事件所包含的基本事件數(shù)；
（3）先求出事件“這些球隨機(jī)的配成n對，記P_n為至少有一對球的顏色一樣”這個事件的概率表達(dá)式P_n，即可得到P_n-1，對此兩者作差，化簡后判斷差的值取值范圍即可．

解答：解：（1）這樣的方法有以下幾種情況：
①3個盒子中分別有1個、1個、4個，其方法數(shù)為C₆⁴A₃³=15×6=90種；…（1分）
②3個盒子中分別有1個、2個、3個，其方法數(shù)為C₆¹C₅²C₃³A₃³=360種；…（2分）
③3個盒子中分別有2個、2個、2個，其方法數(shù)為C₆²C₄²C₂²=90；…（3分）
共有540種．…（4分）
（2）配成3對的所有基本事件數(shù)有：

C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

=15，
配成3對，每對顏色不一樣，共有6種情況，所以至少有一對顏色一樣的有9種
所以至少有一對顏色一樣的概率為
P=

9

15

=

3

5

（8分）
（3）Pn=1-

( A n n )2

C 2 2n C 2 2n-2 … C 2 2

=1-

2n(n!)2

(2n!)

Pn-1=1-

2n-1[(n-1)!]2

[2(n-1)]!

∴P_n-P_n-1=

2n-1[(n-1)!]2

2[(n-1)]!

×

n-1

2n-1

∵

n-1

2n-1

=

n-1

2(n-1)+1

＜

1

2

，又當(dāng)k∈N^*，且k＞1時，
∴2（n-k）-[2n-（k+1）]=-k+1＜0
∴

2n-1[(n-1)!]2

2[(n-1)]!

=

2n-2 A n-2 n-2

A n-2 2n-3

＜1
∴P_n-P_n-1＜

1

2

（其中n≥3 ）

點(diǎn)評：本題考查概率的應(yīng)用，是一個應(yīng)用題，本題中所給的事件較為復(fù)雜，而其對立面相對簡單，故采用了正難則反的策略，解本題關(guān)鍵是理解所研究的事件，選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌冉鉀Q問題，本題考查了排除法的技巧，一般正面求解較為困難時，不妨考慮研究其對立面，本題第三問的證明有難度，運(yùn)算量大，符號多，要認(rèn)真變形，計(jì)算，熟練掌握階乘的表達(dá)式是正確計(jì)算的保證