Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1），當(dāng)點(diǎn)（x，y）在f（x）的圖象上時(shí)，（

x

3

，

y

2

）在y=g（x）圖象上，求F（x）=g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令

x

3

=a，

y

2

=b，由題設(shè)條件知，再由（a，b）是函數(shù)y=g（x）的圖象上的點(diǎn)，即可得到函數(shù)y=g（x）的解析式．再根據(jù)基本不等式即可求出g（x）-f（x）的最大值．

解答： 解：令（a，b）點(diǎn)是函數(shù)y=g（x）的圖象上的點(diǎn)，
則a=

x

3

，b=

1

2

y，則x=3a，y=2b，
∵點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上
∴（x，y）滿足函數(shù)f（x）=log₂（x+1），
即2b=log₂（3a+1），
即b=log₂

3a+1

，
故函數(shù)y=g（x）=log₂

3x+1

，x＞-

1

3

，
∴F（x）=g（x）-f（x）=log₂

3x+1

-log₂（x+1）=log₂

3x+1

x+1

=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log₂

9

2(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log₂

9

8

=log₂3-

3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)3x+1=2時(shí)，即 x=

1

3

時(shí)等號(hào)成立，
∴F（x）=g（x）-f（x）的最大值為log₂3-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，的關(guān)鍵是根據(jù)基本不等式，求出真數(shù)部分的最大值，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到y(tǒng)=g（x）-f（x）的最大值．