Question

（2013•嘉興二模）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=3a_n+2．
（Ⅰ）記b_n=a_n+1，求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=3a_n+2，可知a_n+1+1=3（a_n+1）．可得數(shù)列{b_n}是以a₁+1=3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
（II）由（I）可得：得an=3n-1，于是nan=n•3n-n．從而S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）-（1+2+…+n），對(duì)于前一個(gè)括號(hào)用“錯(cuò)位相減法”即可求出，后一個(gè)括號(hào)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：（Ⅰ）證明：由a_n+1=3a_n+2，可知a_n+1+1=3（a_n+1）．
∵b_n=a_n+1，∴b_n+1=3b_n，
又b₁=a₁+1=3，
∴數(shù)列{b_n}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1=3n，得an=3n-1，∴nan=n•3n-n．
∴S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）-（1+2+…+n）
其中1+2+…+n=

n(n+1)

2

=

n2+n

2

，
記Tn=3+2×32+3×33+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ  ①
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹  ②
兩式相減得-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=

3(3n-1)

3-1

-n•3n+1，
∴Tn=

(2n-1)

4

×3n+1+

3

4

．
∴Sn=

2n-1

4

×3n+1-

2n2+2n-3

4

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握變形轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式事件他的關(guān)鍵．