Question

15．解關(guān)于x的不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0．

Answer 1

分析 分類討論二次項(xiàng)的系數(shù)a³與0的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得不等式的解集．

解答 解：對(duì)于不等式a³x²-（a²+a）x+1=（ax-1）•（a²x-1）＞0，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，不等式即1＞0，恒成立，此時(shí)，不等式的解集為R．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，
若a=1，不等式即 x²-2x+1＞0，∴x≠1，即不等式的解集為{x|x≠1}．
若0＜a＜1，則$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0的解集為 {x|x＜$\frac{1}{a}$，或 x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$}．
若a＞1，則$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{{a}^{2}}$，不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0的解集為{x|x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，或 x＞$\frac{1}{a}$}．
②當(dāng)a＜0時(shí)，則$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，不等式a³x²-（a²+a）x+1＞0的解集為 {x|$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$ }．
綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為R；
當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠1}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{a}$，或 x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$}；
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|x＞$\frac{1}{a}$，或 x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$}；
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為 {x|$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$ }．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．