解:(I)∵f(x+y)=f(x)+f(y)
∴令x=y=0 有f (0 )=0
再令y=-x 可得f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x)
∴f ( x )是定義在R上的奇函數(shù).
(II)任取x
1<x
2,則x
2-x
1>0,故 f(x
2-x
1)>0
又∵f(x
2-x
1)=f(x
2)+f(-x
1)=f(x
2)-f(x
1)>0
∴函數(shù)滿足f(x
2)>f(x
1),即f(x
1)<f(x
2)
∴函數(shù)f(x)為(-∞,+∞)單調(diào)增函數(shù)
(III)∵f(3)=12,∴f(1+1+1)=3f(1)=12,可得f(1)=4
∵A={(x,y)|f(x
2)+f(y
2)=4},集合B=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263307.png)
,若A∩B≠∅,
∴集合A表示的圖形是單位圓:x
2+y
2=1,點P(x,y)在單位圓x
2+y
2=1上,
且單位圓x
2+y
2=1與直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263308.png)
有至少一個公共點
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263309.png)
≤1,解之得a≤-2或a≥2.
分析:(I)利用賦值法,算出f (0 )=0,進而得到f(-x)=-f(x),所以f ( x )是定義在R上的奇函數(shù).
(II)根據(jù)單調(diào)性的定義,任取x
1<x
2結(jié)合題意可證出f(x
1)<f(x
2),所以函數(shù)f(x)為其定義域內(nèi)的單調(diào)增函數(shù);
(III)由f(3)=12,可得f(1)=4,從而得到集合A表示的圖形是單位圓x
2+y
2=1,根據(jù)題意得單位圓與直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263308.png)
有至一個公共點,由點到直線的距離公式建立關(guān)于a的不等式,解之即可得到實數(shù)a的取值范圍.
點評:本題給出抽象函數(shù),求函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性并討論集合交集不是空集的問題.著重考查了抽象函數(shù)的理解、函數(shù)的簡單性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系等知識,屬于中檔題.