Question

7．設a，b∈R，函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+bx+1$，g（x）=e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅲ）證明：當$a≤\frac{1}{2}$時，g（x）＞f（x）在區(qū)間（-∞，0）內恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出兩個函數(shù)的導函數(shù)，利用函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在x=0處有公共的切線，列出方程，即可求出b．
（Ⅱ）求出導函數(shù)f'（x），通過-1≤a≤1時，判斷函數(shù)的單調性，當a²＞1時，判斷導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調性．
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e^x-x²-2ax-1，求出導函數(shù)h'（x）=e^x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e^x-2x-2a，求出u'（x）=e^x-2．通過當$a≤\frac{1}{2}$時，利用函數(shù)的單調性與最值求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²+2ax+b，g'（x）=e^x，
由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（2分）
（Ⅱ）f'（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²，
當a²≤1時，即-1≤a≤1時，f'（x）≥0，從而函數(shù)f（x）在定義域內單調遞增，
當a²＞1時，$f'（x）=（{x+a+\sqrt{{a^2}-1}}）（{x+a-\sqrt{{a^2}-1}}）$，此時
若$x∈（{-∞，-a-\sqrt{{a^2}-1}}）$，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）單調遞增；
若$x∈（{-a-\sqrt{{a^2}-1}，-a+\sqrt{{a^2}-1}}）$，f'（x）＜0，則函數(shù)f（x）單調遞減；
若$x∈（{-a+\sqrt{{a^2}-1}，+∞}）$時，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）單調遞增．…（6分）
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e^x-x²-2ax-1，
則h（0）=e⁰-1=0．h'（x）=e^x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e^x-2x-2a，則u'（x）=e^x-2．
當$a≤\frac{1}{2}$時，u（0）=h'（0）=1-2a≥0，
又當x≤0時，u'（x）＜0，從而u（x）單調遞減；
所以u（x）＞0．
故當x∈（-∞，0）時，h（x）單調遞增；
又因為h（0）=0，故當x＜0時，h（x）＜0，
從而函數(shù)g（x）-f（x）在區(qū)間（-∞，0）單調遞減；
又因為g（0）-f（0）=0
所以g（x）＞f（x）在區(qū)間（-∞，0）恒成立．…（14分）

點評 本題主要考查導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用、函數(shù)的零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合、化歸與轉化等數(shù)學思想．