Question

已知函數(shù)f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）的導函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為4-c，若f（x）有極值，則c的取值范圍是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、[4，+∞）
• D、（4，+∞）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,導數(shù)的運算

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）的導函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為4-c，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，可得a，b的值，結(jié)合基本不等式，分c≤4時和c＞4時兩種情況討論f（x）極值的存在性，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ae^2x-be^-2x-cx（a，b，c∈R）
∴f′（x）=2ae^2x+2be^-2x-c，
由f′（x）為偶函數(shù)，可得2（a-b）（e^2x-e^-2x）=0，
即a=b，
又∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為4-c，
即f′（0）=2a+2b-c=4-c，故a=b=1，
∴f′（x）=2e^2x+2e^-2x-c，
而2e^2x+2e^-2x≥2

2e2x•2e-2x

=4，當且僅當x=0時取等號，
當c≤4時，f′（x）≥0恒成立，故f（x）無極值；
當c＞4時，令t=e^2x，方程2t+

2

t

-c=0的兩根均為正，即f′（x）=0有兩個根x₁，x₂，
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，當x∈（-∞x₁）∪（x₂，+∞）時，f′（x）＞0，
故當x=x₁，或x=x₂時，f（x）有極值，
綜上，若f（x）有極值，c的取值范圍為（4，+∞）．
故選：D．

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．