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判斷并證明函數f（x）=ex（x2+ax+a+1）的單調性．
考點：指數函數綜合題
專題：函數的性質及應用
分析：求導數，分類討論，利用導數的正負，可討論該函數的單調性；
解答： 解：∵f（x）=ex（x2+ax+a+1），∴f′（x）=[x2+（a+2）x+2a+1]ex，
令f′（x）=0，得x2+（a+2）x+2a+1=0，
（1）當△=（a+2）2-4（2a+1）=a2-4a=a（a-4）＞0，
即a＜0或a＞4時x2+（a+2）x+2a+1=0有兩個不同的實根x1，2=
-a-2±
a2-4a
2
，于是x∈（-∞，
-a-2-
a2-4a
2
）∪（
-a-2+
a2-4a
2
，+∞），f′（x）＞0，
x∈（
-a-2-
a2-4a
2
，
-a-2+
a2-4a
2
）時，f′（x）＜0，
所以a＜0或a＞4時，f（x）在∈（-∞，
-a-2-
a2-4a
2
）和（
-a-2+
a2-4a
2
，+∞）單調遞增，
在（
-a-2-
a2-4a
2
，
-a-2+
a2-4a
2
）單調遞減；
（2）當△=0即a=0或a=4時，方程x2+（a+2）x+2a+1=0有兩個相同的實根，于是f′（x）≥0，f（x）在R單調遞增；
（3）當△＜0即0＜a＜4時x2+（a+2）x+2a+1＞0，f′（x）＞0，故f（x）為增函數．
綜上，當0≤a≤4時，f（x）為增函數．
a＜0或a＞4時，f（x）在（-∞，
-a-2-
a2-4a
2
）和（
-a-2+
a2-4a
2
，+∞）單調遞增，
在（
-a-2-
a2-4a
2
，
-a-2+
a2-4a
2
）單調遞減；
點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性，做題時要注意對a進行討論，最后得出函數的單調區(qū)間．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
(
1
2
)x，		x＜-1
x2+3x，x≥-1
．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）當x∈[-1，2]時，f（x）≥mx-2（m∈R）恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=3x，且f（a+2）=18，g（x）=3ax-4x（x∈R）．
（1）求g（x）的解析式；
（2）判斷g（x）在[0，1]上的單調性并用定義證明；
（3）設M={m|方程g（t）-m=0在[-2，2]上有兩個不同的解}，求集合M．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設x1，x2分別是方程xax=1和xlogax=1的根（其中a＞1），則x1+2x2的取值范圍（　�。�
A、（2
2
，+∞）
B、[2
2
，+∞）
C、（3，+∞）
D、[3，+∞）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
x-1
ax
-lnx（a≠0）．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）求證：ln
e2
x
≤
1+x
x
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-2x≥0}，B={x|x＜1}，則A∩B=（　　）
A、[-1，1）
B、（0.1）
C、[0，1）
D、（-∞，0]

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科目：高中數學 來源： 題型：

某校從8名教師中選派4名同時去4個邊遠地區(qū)支教（每地1名教師），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，則不同的選派方案共有（　�。�
A、150種B、300種
C、600種D、900種

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（0，sin
x
2
），
b
=（1，2cos
x
2
），函數f（x）=
3
2
a
•
b
，g（x）=
a
2+
b
2-
7
2
，則f（x）的圖象可由g（x）的圖象經過怎樣的變換得到（　　）
A、向左平移
π
4
個單位長度
B、向右平移
π
4
個單位長度
C、向左平移
π
2
個單位長度
D、向右平移
π
2
個單位長度

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科目：高中數學 來源： 題型：

以下結論：
①函數y=sin（kπ-x），（k∈Z）為奇函數；
②函數y=tan(2x+
π
6
)的圖象關于點(
π
12
，0)對稱；
③函數y=cos(2x+
π
3
)的圖象的一條對稱軸為x=-
2
3
π；
④函數y=2sin(x-
π
3
)，x∈[0，2π]的單調遞減區(qū)間是[
5π
6
，
11π
6
]；
⑤函數y=sin2x的周期是kπ（k∈Z）．
其中正確結論的序號為
 
．（多選、少選、選錯均不得分）．

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