放縮法
證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值_________或_________，簡化不等式，從而達到證明的目的．我們把這種方法稱為放縮法．
100分闖關期末沖刺系列答案科目：高中數學 來源：2014屆四川省高一下學期期中理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知正項數列
的前n項和
滿足：
，
（1）求數列的通項
和前n項和；
（2）求數列
的前n項和
；
（3）證明：不等式 
對任意的
，
都成立．
【解析】第一問中，由于所以
兩式作差
，然后得到
從而
得到結論
第二問中，
利用裂項求和的思想得到結論。
第三問中，
又
結合放縮法得到。
解：（1）∵ ∴
∴
∴
∴ ………2分
又∵正項數列，∴
∴
又n=1時，
∴
∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列……………3分
∴
…………………4分
∴
…………………5分
（2）
…………………6分
∴
…………………9分
（3）
…………………12分
又
，
∴不等式 對任意的，都成立．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省高三第五次階段考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知數列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用
關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結論。
解：(Ⅰ)當
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數學歸納法）①當
時, 
,命題成立;
②假設
時,命題成立,即
,
則當
時,
即
即
故當時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
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