如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F(xiàn)分別是AB,PD的中點(diǎn),又∠PAD為45°

(1)求證:AF∥平面PEC

(2)求證:平面PEC⊥平面PCD.

答案:
解析:

  證明(1)取PC中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G,

  F為PD的中點(diǎn),GFCD.

  CDAB,又E為AB中點(diǎn),

  AEGF.

  四邊形AEGF為平行四邊形.

  AF∥GE,且AF平面PEC,GE平面PEC,

  因此AF∥平面PEC.

  (2)PA⊥平面ABCD,則AD是PD在底面的射影.又ABCD為矩形,

  CD⊥AD,則CD⊥PD.因此CD⊥AF,又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2678/0018/3c470ff574fbe1f59b514dcca08e7ca0/C/Image65.gif" width=96 height=21>.

  F為Rt△PAD斜邊PD的中點(diǎn),

  AF⊥PD,PD∩CD=D,AF⊥平面PCD,由(1)知AF∥EG.

  EG⊥平面PCD.EG平面PEC,

  平面PEC⊥平面PCD


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,點(diǎn)E在線段AD上,CE∥AB.
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(1)求證:PC⊥平面BDE;
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如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點(diǎn)F是PB中點(diǎn).
(Ⅰ)若E為BC中點(diǎn),證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點(diǎn),證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB和PC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)若CD=2PD=2AD=2,四棱錐P-ABCD外接球的表面積.

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精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=
12
CD=2,PA=2,M,E,F(xiàn)分別是PA,PC,PD的中點(diǎn).
(1)證明:EF∥平面PAB;
(2)證明:PD⊥平面ABEF;
(3)求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值.

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