Question

已知函數．
（I）求的值；
（II） 求f（x）的最大值和最小正周期；
（III） 若，α是第二象限的角，求sin2α．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（）=sin（2×）+cos（2×）=×-×=0；
（Ⅱ）∵f（x）=2（sin2x+cos2x）=2（cossin2x+sincos2x）=2sin（2x+）．
∴f（x）的最大值為2，最小正周期T==π；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）=2sin（2x+），
∴f（）=2sinα=，即sinα=，又α是第二象限的角，
∴cosα=-=-，
∴sin2α=2sinαcosα=2××（-）=-．
分析：（Ⅰ）將代入已知函數關系式計算即可；
（Ⅱ）利用輔助角公式將f（x）化為f（x）=2sin（2x+）即可求f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅲ）由f（）=2sinα=，可求得sinα，α是第二象限的角，可求得cosα=，利用正弦函數的二倍角公式即可求得sin2α．
點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查同角三角函數間的基本關系，考查正弦函數的性質及應用，利用輔助角公式求得f（x）=2sin（2x+）是關鍵，屬于中檔題．，