Question

在數列{a_n}中，a₁=1，并且對于任意n∈N^*，都有．a_n+1=

an

2an+1

（1）證明數列{

1

an

}為等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_na_n+1}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件得

1

a1

=1，

1

an+1

=

2an+1

an

=

1

an

+2，由此能證明{

1

an

}是首項為1，公差為2的等差數列，從而得到a_n=

1

2n-1

．
（2）由a_na_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項求和法能求出數列{a_na_n+1}的前n項和T_n．

解答： （1）證明：∵在數列{a_n}中，a₁=1，
并且對于任意n∈N^*，都有．a_n+1=

an

2an+1

，
∴

1

a1

=1，

1

an+1

=

2an+1

an

=

1

an

+2，
∴{

1

an

}是首項為1，公差為2的等差數列，
∴

1

an

=1+（n-1）•2=2n-1，
∴a_n=

1

2n-1

．
（2）解：∵a_na_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．