Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，并且對(duì)于任意n∈N^*，都有．a(chǎn)_n+1=

an

2an+1

（1）證明數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得

1

a1

=1，

1

an+1

=

2an+1

an

=

1

an

+2，由此能證明{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，從而得到a_n=

1

2n-1

．
（2）由a_na_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （1）證明：∵在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，
并且對(duì)于任意n∈N^*，都有．a(chǎn)_n+1=

an

2an+1

，
∴

1

a1

=1，

1

an+1

=

2an+1

an

=

1

an

+2，
∴{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+（n-1）•2=2n-1，
∴a_n=

1

2n-1

．
（2）解：∵a_na_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．