精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
在數列{an}中,a1=1,并且對于任意n∈N*,都有.an+1=
an
2an+1

(1)證明數列{
1
an
}為等差數列,并求{an}的通項公式;
(2)求數列{anan+1}的前n項和Tn
考點:數列的求和,數列遞推式
專題:等差數列與等比數列
分析:(1)由已知條件得
1
a1
=1
,
1
an+1
=
2an+1
an
=
1
an
+2,由此能證明{
1
an
}是首項為1,公差為2的等差數列,從而得到an=
1
2n-1

(2)由anan+1=
1
2n-1
1
2n+1
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
),利用裂項求和法能求出數列{anan+1}的前n項和Tn
解答: (1)證明:∵在數列{an}中,a1=1,
并且對于任意n∈N*,都有.an+1=
an
2an+1
,
1
a1
=1
,
1
an+1
=
2an+1
an
=
1
an
+2,
∴{
1
an
}是首項為1,公差為2的等差數列,
1
an
=1+(n-1)•2=2n-1,
∴an=
1
2n-1

(2)解:∵anan+1=
1
2n-1
1
2n+1
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
),
∴Tn=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
…+
1
2n-1
-
1
2n+1

=
n
2n+1
點評:本題考查等差數列的證明,考查數列的通項公式的求法,解題時要認真審題,注意裂項求和法的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)=
lg(2-x)
12+x-x2
的定義域為(  )
A、(-3,2)
B、[-3,2)
C、(-∞,-3)
D、(-∞,-3]

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

計算:求函數f(x)=
1
1-2x
,x∈[2,5]的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知等差數列{an}和和為Sn,且a4=9,S5=35
(1)求數列{an}的通項公式
(2)求數列數列{|an|}的前20項和T20

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

設0<a<c,0<b<c,試證明不等式:
a2+b2
+
(c-a)2+b2
+
a2+(c-b)2
+
(c-a)2+(c-b)2
≥2
2
c.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

某化工廠生產的某種化工產品,當年產量在150噸至250噸之間時,其生產的總成本y(萬元)與年產量x(噸)之間的函數關系式近似地表示為y=
x2
10
-30x+4000.
問:每噸平均出廠價為16萬元,年產量為多少噸時,可獲得最大利潤?并求出最大利潤.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(1)求函數f(x)=ex在x=0處的切線的方程;
(2)求函數g(x)=
1
2
x2-lnx的單調減區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

求下列函數的值域:
(1)y=
1
2+x2

(2)y=x2-x+2;
(3)y=
2x
x+1

(4)y=
4-x2

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

一個底面半徑為2,高為2的圓錐,其內接一長方體(底面在圓錐底面上,其他四個頂點在圓錐的母線上),如圖是其圖形及其一個軸截面圖,若AC=2,長方體底面一邊長為x.

(1)求內接長方體的高;
(2)當x為何值時內接長方體體積有最大值,并求出最大值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案