Question

9．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a）x，a∈R
（1）求函數(shù)的定義域
（2）是否存在實數(shù)a，使得f（x）為偶函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用分母不為0，可得函數(shù)的定義域；
（2）利用f（-x）=f（x），求出a．

解答 解：（1）由題意，2^x-1≠0，∴x≠0，
∴函數(shù)的定義域為{x|x≠0}；
（2）設(shè)f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
即（$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$+a）x=（$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a）x，
∴2a=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$=1，
∴$a=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的定義域，考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．