Question

8．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于n∈N^*，有a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{n}+9，{a}_{n}不被2整除}\\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{k}}，{a}_{n}被{2}^{k}整除，且不被{2}^{k+1}整除}\end{array}\right.$；其中k為正整數(shù)，若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m時(shí)且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，則p的值為9或1．

Answer 1

分析 通過題意可得關(guān)系式a_n+1=7a_n+9、a_n+2=$\frac{7p+9}{{2}^{k}}$=p，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解方程問題，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m時(shí)且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，
∴a_n+1=7a_n+9，
a_n+2=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{k}}$=$\frac{7{a}_{n}+9}{{2}^{k}}$=$\frac{7p+9}{{2}^{k}}$=p，
∴p（2^k-7）=9，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，
∴k=3、p=9或k=4、p=1，
故答案為：9或1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．