已知橢圓：的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且△的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為、，過點的動直線與橢圓相交于、兩點，直線與直線的交點為，證明：點總在直線上.

 

【答案】

（Ⅰ）橢圓的方程為；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由焦點坐標(biāo)知：.又橢圓上的點滿足，由可求得，再由勾股定理可求得，從而求得.再由求得，從而得橢圓的方程.（Ⅱ）首先考慮與軸垂直的情況，此時可求出直線與直線的交點為，的方程是：，代入驗證知點在直線上.當(dāng)直線不與軸垂直時，設(shè)直線的方程為，點、，，則，，要證明共線，只需證明，即證明.

若，顯然成立；若， 即證明

而，這顯然用韋達(dá)定理.

試題解析：（Ⅰ）由題意知：， 1分

橢圓上的點滿足，且，

．

，．

2分

又 3分

橢圓的方程為． 4分

（Ⅱ）由題意知、，

（1）當(dāng)直線與軸垂直時，、，則的方程是：，

的方程是：，直線與直線的交點為，

∴點在直線上. 6分

（2）當(dāng)直線不與軸垂直時，設(shè)直線的方程為，、，

由得

∴， 7分

，，共線，∴ 8分

又，，需證明共線，

需證明，只需證明

若，顯然成立，若， 即證明

∵

成立， 11分

∴共線，即點總在直線上. 12分

考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與圓錐曲線.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的

直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設(shè)橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，

（）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的

直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設(shè)橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，

（）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年貴州省高三第一次月考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓的方程為 ，雙曲線的左、右焦

 

點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點.

（1）求雙曲線的方程；                                             

（2）若直線與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，求的范圍。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省湛江二中高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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