Question

【題目】已知f（x）=ex+sinx+ax（a∈R）.

（Ⅰ）當a=﹣2時，求證：f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減；

（Ⅱ）若對任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）若f（x）有最小值，請直接給出實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）a≥﹣2；（Ⅲ）a＜0.

【解析】

（Ⅰ）代入，再求導分析導函數(shù)得即可.

（Ⅱ）分當與兩種情況，分別求解單調性可得導函數(shù)在上單調遞增.再討論最小值與0的大小關系，從而得到原函數(shù)的單調區(qū)間，再設極值點分析是否滿足恒成立即可.

（Ⅲ）根據(jù)，結合指數(shù)、正弦函數(shù)與一次函數(shù)的單調性直接寫出即可.

（Ⅰ）解：a=﹣2，f'（x）=ex+cosx﹣2，

當 x＜0時，ex＜1，cosx≤1，

所以

所以f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減.

（Ⅱ）解：當x=0時，f（x）=1≥1，對于a∈R，命題成立，

當 x＞0時，設g（x）=ex+cosx+a，

則.

因為 ex＞1，sinx≤1，

所以 ，g（x）在（0，+∞）上單調遞增.

又g（0）=2+a，

所以g（x）＞2+a.

所以在（0，+∞）上單調遞增，且＞2+a.

①當a≥﹣2時，＞0，

所以 f（x）在（0，+∞）上單調遞增.

因為 f（0）=1，

所以f（x）＞1恒成立.

②當a＜﹣2時，=2+a＜0，

因為在[0，+∞）上單調遞增，

又當 x=ln（2﹣a）時，=﹣a+2+cosx+a=2+cosx＞0，

所以 存在x0∈（0，+∞），對于x∈（0，x0），＜0恒成立.

所以 f（x）在（0，x0）上單調遞減，

所以 當x∈（0，x0）時，f（x）＜f（0）=1，不合題意.

綜上，當a≥﹣2時，對于x≥0，f（x）≥1恒成立.

（Ⅲ）解：a＜0.