Question

10．已知函數(shù)f（x）=2mlnx-x，g（x）=$\frac{{3{e^x}-3}}{x^2}$（m∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）試討論函數(shù)f（x）的極值情況；
（2）證明：當(dāng)m＞1且x＞0時(shí)，總有g(shù)（x）+3f'（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)m分類討論，得出函數(shù)的極值情況；
（2）g（x）+3f'（x）＞0等價(jià)于3e^x-3x²+6mx-3＞0，
構(gòu)造函數(shù)u（x）=3e^x-3x²+6mx-3，通過(guò)二次求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出u（x）=3e^x-3x²+6mx-3，
得出當(dāng)x＞0時(shí)，u（x）＞u（0）=0，得出結(jié)論成立．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=\frac{2m}{x}-1$=$-\frac{x-2m}{x}$．
①當(dāng)m≤0時(shí)，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，f（x）無(wú)極值；
②當(dāng)m＞0時(shí)，令f'（x）＞0，得0＜x＜2m；令f'（x）＜0，得x＞2m．
故f（x）在x=2m處取得極大值，且極大值為f（2m）=2mln（2m）-2m，f（x）無(wú)極小值．
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）+3f'（x）＞0，
?$\frac{{3{e^x}-3}}{x^2}+\frac{6m}{x}-3＞0?$3e^x-3x²+6mx-3＞0．
設(shè)函數(shù)u（x）=3e^x-3x²+6mx-3，
則u'（x）=3（e^x-2x+2m）．記v（x）=e^x-2x+2m，
則v'（x）=e^x-2．
當(dāng)x變化時(shí)，v'（x），v（x）的變化情況如下表：

由上表可知v（x）≥v（ln2），
而v（ln2）=e^ln2-2ln2+2m=2-2ln2+2m=2（m-ln2+1），
由m＞1，知m＞ln2-1，
所以v（ln2）＞0，
所以v（x）＞0，即u'（x）＞0．
所以u(píng)（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)．
所以當(dāng)x＞0時(shí)，u（x）＞u（0）=0．
即當(dāng)m＞1且x＞0時(shí)，3e^x-3x²+6mx-3＞0．
所以當(dāng)m＞1且x＞0時(shí)，總有g(shù)（x）+3f'（x）＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極值的概念和二次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．