Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=，記b_n=a_2n（n∈N*），S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（Ⅰ）證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求其通項公式；
（Ⅱ）若對任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+s_n-1恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍；
（Ⅲ）令c_n=，證明：c_n≤（n∈N*）．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題．在解答時：
（Ⅰ）首先由b_n=a_2n可推得：從而獲得數(shù)列{b_n}是首項和公比都為的等比數(shù)列，進而用等比數(shù)列的通項公式即可獲得問題的解答；
（Ⅱ）利用第一問的結論再結合等比數(shù)列的前n項和公式可得：（n≥2）．又因為：對任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+S_n-1恒成立，
則λ大于等于1+S_n-1的最大值，故λ的取值范圍是即可解答；
（Ⅲ）首先利用第一問的結論對C_n進行化簡，然后利用作差法即可獲得數(shù)列在不同范圍上的單調(diào)性，進而求得數(shù)列{c_n}的最大值．
解答：解：（Ⅰ）因為b_n=a_2n，由已知可得，

=．
又a₁=1，則．
所以數(shù)列b_n是首項和公比都為的等比數(shù)列，
故．
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求其通項公式為：．
（Ⅱ）因為=（n≥2）．
若對任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+S_n-1恒成立，
則λ≥2，故λ的取值范圍是[2，+∞）．
（Ⅲ）因為，則
=．
當n＜9時，c_n+1-c_n＞0，即c_n＜c_n+1；
當n=9時，c_n+1-c_n=0，即c_n=c_n+1；
當n＞9時，c_n+1-c_n＜0，即c_n＞c_n+1．
所以數(shù)列c_n的最大項是c₉或c₁₀，
且，故．
點評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了計算轉(zhuǎn)化的能力、恒成立問題的解答能力以及定義法證明函數(shù)單調(diào)性的知識．同時作差法、放縮法在題目當中也得到了充分的體現(xiàn)．值得同學們體會反思．