Question

 本題有3小題，第1小題5分，第2小題5分，第3小題9分．

已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：

    ，，當(dāng)且時(shí)，且．

其中、均為非零常數(shù)．

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；

（2）令，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）試研究數(shù)列為等比數(shù)列的條件，并證明你的結(jié)論．

說(shuō)明：對(duì)于第3小題，將根據(jù)寫(xiě)出的條件所體現(xiàn)的對(duì)問(wèn)題探究的完整性，給予不同的評(píng)分。

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）由已知，，得

 

由數(shù)列是等差數(shù)列，得

所以，，，得．………………………5分

（2）由，可得

且當(dāng)時(shí)，

所以，當(dāng)時(shí)，

，………………………4分

因此，數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列．…………………………………………1分

（3）解答一：寫(xiě)出必要條件，如，由（1）知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，

所以是數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件． ………………………………3分

解答二：寫(xiě)出充分條件，如或等，并證明 ……………… 5分

解答三：是等比數(shù)列的充要條件是……………………2分

充分性證明：

若，則由已知，得

所以，是等比數(shù)列．……………………………………………………………2分

必要性證明：若是等比數(shù)列，由（2）知，

，

． …………………………………………1分

當(dāng)時(shí)，．

上式對(duì)也成立，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：

．

所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

所以，．……………………………………………………………………1分

當(dāng)時(shí)，．  

上式對(duì)也成立，所以，

……………………1分

所以，．  …………………………………………1分

即，等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)均成立．

所以，．……………………………………………………………1分