Question

2．已知函數y=f（x）滿足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有單調性，λ＜0，求g（λ）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用配湊法進行求解即可．
（2）求出函數g（x）的表達式，結合一元二次函數單調性的性質進行判斷即可．

解答 解：（1）∵f（x+1）=x+3a=x+1+3a-1，
∴f（x）=x+3a-1，
∵f（a）=3，∴f（a）=a+3a-1=4a-1=3，
得4a=4，則a=1，
即函數f（x）的解析式f（x）=x+2；
（2）g（x）=x•f（x）+λf（x）+1=x•（x+2）+λ（x+2）+1
=x²+（2+λ）x+2λ+1，
函數的對稱軸為x=-$\frac{2+λ}{2}$，
若函數g（x）在（0，2）上具有單調性，λ＜0，
則-$\frac{2+λ}{2}$≤0或-$\frac{2+λ}{2}$≥2，
即λ≥-2或λ≤-6，
∵λ＜0，
∴λ≤-6或-2≤λ＜0，
則g（λ）的取值范圍是λ≤-6或-2≤λ＜0．

點評 本題主要考查函數解析式的求解以及函數單調性的判斷和應用，根據一元二次函數的性質是解決本題的關鍵．