Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1與x=-

2

3

時(shí)，都取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）若f(-1)=

3

2

，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于0，所以若f（x）在x=1與x=-

2

3

時(shí)，都取得極值，則f′（1）=0，f′（-

2

3

）=0，就可得到a，b的值．
（2）先由f(-1)=

3

2

求出函數(shù)中的c扥值，再求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍是函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍是函數(shù)的減區(qū)間，增區(qū)間與減區(qū)間的分界點(diǎn)為極值點(diǎn)，且當(dāng)極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)取得極大值，當(dāng)極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)取得極小值，再把x的值代入原函數(shù)求出極大值與極小值．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，∵f（x）在x=1與x=-

2

3

時(shí)，都取得極值，
∴f′（1）=0，f′（-

2

3

）=0，即3×1+2a+b=0，3×(-

2

3

)2+2a（-

2

3

）+b=0
解得a=-

1

2

，b=-2
（2）由（1）知，f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c
∵f(-1)=

3

2

，∴-1-

1

2

+2+c=

3

2

，解得c=1
∴f（x）=x³-

1

2

x²-2x+1
又∵f′（x）=3x²-x-2，令f′（x）＞0，即3x²-x-2＞0，解得，x＜-

2

3

，或x＞1，
令f′（x）＜0，即3x²-x-2＜0．解得，-

2

3

＜x＜1
∴函數(shù)的增區(qū)間為 (-∞，-

2

3

)，(1，+∞)；減區(qū)間為(-

2

3

，1)，
∴函數(shù)在x=-

2

3

時(shí)又極大值為 

49

27

，在x=1時(shí)有極小值為-

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值，單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．