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對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為
f（x）的不動點．如果函數(shù)f（x）= $數(shù)學公式$ 有且僅有兩個不動點0、2．
（1）求b、c滿足的關系式；
（2）若c=時，相鄰兩項和不為零的數(shù)列{a_n}滿足 $數(shù)學公式$ =1（S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和），求證： $數(shù)學公式$ ；
（3）在（2）的條件下，設 $數(shù)學公式$ ，Tn是數(shù)列{b_n}的前n項和，求證：T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁．

解：（1）設 $\text{[math]}$ =x的不動點為0和2
∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 即b、c滿足的關系式：b=1+ $\text{[math]}$ 且c≠0
（2）∵c=2∴b=2∴f（x）= $\text{[math]}$ （x≠1），
由已知可得2S_n=a_n-a_n²①，且a_n≠1．
當n≥2時，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²②，
①-②得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n=-a_n-1或a_n=-a_n-1=-1，
當n=1時，2a₁=a₁-a₁²?a₁=-1，
若a_n=-a_n-1，則a₂=1與a_n≠1矛盾．∴a_n-a_n-1=-1，∴a_n=-n
∴要證待證不等式，只要證 $\text{[math]}$ ，
即證 $\text{[math]}$ ，
只要證nln（1+ $\text{[math]}$ ）＜1＜（n+1）ln（1+ $\text{[math]}$ ），即證 $\text{[math]}$ ＜ln（1+ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ．
考慮證不等式 $\text{[math]}$ ＜ln（x+1）＜x（x＞0）**．
令g（x）=x-ln（1+x），h（x）=ln（x+1）- $\text{[math]}$ （x＞0）．
∴g'（x）= $\text{[math]}$ ，h'（x）= $\text{[math]}$ ，
∵x＞0，∴g'（x）＞0，h'（x）＞0，∴g（x）、h（x）在（0，+∞）上都是增函數(shù)，
∴g（x）＞g（0）=0，h（x）＞h（0）=0，∴x＞0時， $\text{[math]}$ ＜ln（x+1）＜x．
令x= $\text{[math]}$ 則**式成立，∴ $\text{[math]}$ ，
（3）由（2）知b_n= $\text{[math]}$ ，則T_n= $\text{[math]}$
在 $\text{[math]}$ ＜ln（1+ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ 中，令n=1，2，3，…，2011，并將各式相加，
得 $\text{[math]}$ ＜ln $\text{[math]}$ +ln $\text{[math]}$ +…+ln $\text{[math]}$ ＜1+ $\text{[math]}$ ．
即T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁．
分析：（1）設 $\text{[math]}$ =x的不動點為0和2，由此知 $\text{[math]}$ 推出b、c滿足的關系式．
（2）由c=2，知b=2，f（x）= $\text{[math]}$ （x≠1），2S_n=a_n-a_n²，且a_n≠1．所以a_n-a_n-1=-1，a_n=-n，要證待證不等式，只要證 $\text{[math]}$ ，利用分析法證明 $\text{[math]}$ ＜ln（1+ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ．考慮證不等式 $\text{[math]}$ ＜ln（x+1）＜x（x＞0），由此入手利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，然后導出 $\text{[math]}$ ．
（3）由 $\text{[math]}$ ，利用（2）的結論，通過累加法證明所要證明的不等式T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁即可．
點評：本題考查不等式的性質和應用，函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性構造法的應用，分析法證明不等式的方法，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．

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