Question

8．設(shè)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x，寫出函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)條件f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），周期為4；根據(jù)奇函數(shù)，得出f（1+x）=f（1-x）．函數(shù)關(guān)于x=1對稱，其關(guān)于原點對稱，
由有0≤x≤1時，f（x）=x，可畫出整個函數(shù)圖象，結(jié)合圖象得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵由f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
∵y=f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）]，
∴f（1+x）=f（1-x）．
故知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
又0≤x≤1時，f（x）=x，且f（x）的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則f（x）的圖象如圖所示．

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k-1，4k+1]（k∈Z），
單調(diào)遞減區(qū)間[4k+1，4k+3]（k∈Z）．

點評 本題考查了抽象函數(shù)奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用，應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．