Question

【題目】如圖，已知，兩個(gè)城鎮(zhèn)相距20公里，設(shè)是中點(diǎn)，在的中垂線上有一高鐵站，的距離為10公里．為方便居民出行，在線段上任取一點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合）建設(shè)交通樞紐，從高鐵站鋪設(shè)快速路到處，再鋪設(shè)快速路分別到，兩處．因地質(zhì)條件等各種因素，其中快速路造價(jià)為3百萬元/公里，快速路造價(jià)為2百萬元/公里，快速路造價(jià)為4百萬元/公里， 設(shè)，總造價(jià)為（單位：百萬元）．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；

（2）求總造價(jià)的最小值，并求出此時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1），定義域；（2）最小值為（百萬元），此時(shí)．

【解析】

(1)根據(jù)題意有,,因此根據(jù)不同地段的造價(jià)即可列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,再求出定義域即可;

(2)根據(jù)(1)中結(jié)論可設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性及其最大值,從而可得出結(jié)論.

(1)∵,,,

∴,,,

∴

，定義域；

(2)設(shè),

則,

令,又,所以,

當(dāng),,單調(diào)遞減;

當(dāng),,單調(diào)遞增;

所以的最小值為,

所以的最小值為(百萬元),此時(shí).