Question

某廠擬生產甲、乙兩種試銷產品，每件銷售收入分別為3千元、2千元．甲、乙產品都需要在A、B兩種設備上加工，在每臺A、B上加工一件甲所需工時分別為1工時、2工時，加工一件乙所需工時分別為2工時、1工時，A、B兩種設備每月有效使用臺時數(shù)為a（400≤a≤500）．求生產收入最大值的范圍．

Answer 1

分析：先設甲、乙兩種產品月產量分別為x、y件，寫出約束條件、目標函數(shù)，欲求生產收入最大值的范圍，即求可行域中的最優(yōu)解，在線性規(guī)劃的解答題中建議使用直線平移法求出最優(yōu)解，即將目標函數(shù)看成是一條直線，分析目標函數(shù)Z與直線截距的關系，進而求出最優(yōu)解．注意：最后要將所求最優(yōu)解還原為實際問題．

解答：解：設甲、乙兩種產品月產量分別為x、y件，
約束條件是

x+2y≤a 2x+y≤a x≥0 y≥0

目標函數(shù)是z=3x+2y，
由約束條件畫出可行域，如圖．將z=3x+2y變形為y=-

3

2

x+

z

2

，
這是斜率為-

3

2

，隨z變化的一簇直線．

z

2

是直線在y軸上的截距，當

z

2

最大時z最大，
當然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標函數(shù)取得最大值．
由

x+2y=a 2x+y=a

解得

x= a 3 y= a 3

在這個問題中，使z=3x+2y取得最大值的（x，y）是兩直線2x+y=a與x+2y=a的交點（

a

3

，

a

3

）．
∴z=3•

a

3

+2•

a

3

=

5

3

a．
又∵400≤a≤500
，∴

2000

3

≤z≤

2500

3

．
故月生產收入最大值的范圍是[

2000

3

，

2500

3

]．

點評：在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標函數(shù)Z與直線截距之間的關系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現(xiàn)實問題中．