Question

已知函數(shù)f(x)=x3-3ax(a≥

1

3

)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極小值；（2）設(shè)g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入f（x），求出f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，得x=±1，判斷出根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)．得到f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，求出極值．
（2）判斷出g（x）=|f（x）|=|x³+3ax|在[-1，1]上為偶函數(shù)，將g（x）x∈[-1，1]，的最大值問題轉(zhuǎn)化為只求在[0，1]上的最大值即可．通過對(duì)a的分類討論，將函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，通過導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出函數(shù)的最值．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，得x=±1．
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)f'（x）＜0，
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)f'（x）＞0．
∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的極小值為f（1）=-2．…（4分）
（2）因g（x）=|f（x）|=|x³+3ax|在[-1，1]上為偶函數(shù)，
故只求在[0，1]上的最大值即可．
∵a≥

1

3

，x∈[0，1]，
∴f（x）=x(x-

3a

)(x+

3a

)≤0，
∴g（x）=|f（x）|=-f（x）．
g′(x)=-f′(x)=-(3x2-3a)=-3(x+

a

)(x-

a

)．
①當(dāng)a≥1時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，此時(shí)F（a）=g（1）=-f（1）=3a-1．…（8分）
②當(dāng)

1

3

≤a＜1時(shí)，g（x）=|f（x）|=-f（x）在[0，

a

]上單調(diào)遞增，
在[

a

，1]上單調(diào)遞減，故F(a)=g(

a

)=-f(

a

)=2a

a

．…（12分）
F(a)=

2a a   1 3 ≤a＜1 3a-1 a≥1

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：不同考查函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是寫出函數(shù)的極值和函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處的值，把這些值進(jìn)行比較，得到最大值和最小值．