Question

已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如圖1）．現將△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如圖2），連接AC，AB，設M是AB的中點．

（1）求證：BC⊥平面AEC；
（2）求V_B-AEC；
（3）判斷直線EM是否平行于平面ACD，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：在圖1中，過C作CF⊥EB，
∵DE⊥EB，∴四邊形CDEF是矩形，
∵CD=1，∴EF=1．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=1．
∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．
連接CE，則CE=CB=
∵EB=2，∴∠BCE=90°，
∴BC⊥CE．
在圖2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，∴AE⊥平面BCDE．
∵BC?平面BCDE，∴AE⊥BC．
∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．
（2）解：V_B-AEC===
（3）解：用反證法．假設EM∥平面ACD．
∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，
∴EB∥平面ACD．∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD
而A∈平面AEB，A∈平面ACD，與平面AEB∥平面ACD矛盾．
∴假設不成立，∴EM與平面ACD不平行．
分析：（1）在圖1中，過C作CF⊥EB，連接CE，證明BC⊥CE，在圖2中，利用AE⊥EB，AE⊥ED，可證AE⊥平面BCDE，從而可得AE⊥BC，即可證明BC⊥平面AEC
（2）利用V_B-AEC=，即可得到結論；
（3）用反證法．假設EM∥平面ACD，從而可證面AEB∥面AC，而A∈平面AEB，A∈平面ACD，與平面AEB∥平面ACD矛盾，故可得結論．
點評：本題考查圖形的翻折，考查線面垂直，考查三棱錐的體積，考查反證法思想的運用，解題的關鍵是掌握線面垂直，面面平行的判定方法，屬于中檔題．