已知橢圓C的方程為左、右焦點分別為F1、F2，焦距為4，點M是橢圓C上一點，滿足

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點P（0，2）分別作直線PA，PB交橢圓C于A，B兩點，設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，，求證：直線AB過定點，并求出直線AB的斜率k的取值范圍。

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）在 中,設,,由余弦定理得，

即，即，得.

又因為，，，

又因為所以，

所以所求橢圓的方程為.                    

（Ⅱ）顯然直線的斜率存在，設直線方程為，，

由得，即，

，，

由得，，又，，

則，，

，

那么，

則直線過定點.                

因為，，

，

，，

，所以或.  

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題綜合性強，要求學生要有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的運用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識的運用

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，點A、B分別為其左、右頂點，點F1、F2分別為其左、右焦點，以點A為圓心，AF1為半徑作圓A；以點B為圓心，OB為半徑作圓B；若直線l： y=-
3
3
x被圓A和圓B截得的弦長之比為
15
6
；
（1）求橢圓C的離心率；
（2）己知a=7，問是否存在點P，使得過P點有無數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為
3
4
；若存在，請求出所有的P點坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，橢圓C的左、右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過點F2，交橢圓于A、B兩點，且△ABF1的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點E為x軸上一點，
AF2
=λ
F2B
（λ∈R），若
F1F2
⊥(
EA
+λ
BE
)，求點E的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•洛陽二模）已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F(xiàn)1（-2，0）為左焦點，點M（
2
，
3
）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F1作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設L3與橢圓C相交于點A，B．l2 與橢圓C相交于點D．E，求
AD
•
EB
的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•河北區(qū)一模）已知橢圓C的方程為 
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），過其左焦點F1（-1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點．
（Ⅰ）若
OP
+
OQ
與
a
=（-3，1）共線，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+y-
1
2
=0，在l上求一點M，使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長，求點M的坐標和此雙曲線E的方程．

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